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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann speedy unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Wir wollen uns nun überlegen, wie die Bewegung einer komplexen Zahl z auf einem Kreis mit Radius R um den Nullpunkt durch das Polynom f (z) transformiert wird. Bei dem Anteil zn ist alles klar, da aufgrund der Moivre’schen Formel ein Umlauf auf dem Kreis mit Radius R in n Umläufe auf dem Kreis mit dem Radius Rn um den Nullpunkt abgebildet wird (im mittleren Teil von Bild 8 ist dieser Kreis durchgezogen dargestellt). Die restlichen Terme des Polynoms 36 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften verändern dieses Ergebnis, wie wir eben gesehen haben, vergleichweise wenig, so dass es beim Funktionswert f (z) zu einem n-maligen Umlauf innerhalb eines Kreisrings mit 0 als Zentrum und dem Innenradius 12 R n sowie dem Außenradius 32 R n kommt (im mittleren Teil von Bild 8 sind beispielhaft zwei Begrenzungskreise für die restlichen Terme dargestellt; der begrenzende Kreisring ist sowohl im mittleren wie im rechten Teilbild grau eingezeichnet).

2 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen Versucht man, die kubische Gleichung x3 = 8x + 3 mit Hilfe der Cardanischen Formel zu lösen, so scheint die Formel zu versagen. Dies liegt aber keineswegs daran, dass die Gleichung unlösbar ist, denn x = 3 ist offensichtlich eine Lösung. 1. Wie schon die Aufgabenstellung des ersten Kapitels ist auch diese Gleichung als „klassisch“ zu bezeichnen, da sie aus Cardanos Buch Ars magna stammt12. Allerdings geht Cardano, der einfach 3 als Lösung angibt und dann noch zwei weitere Lösungen berechnet, auf die Schwierigkeiten, die bei einer Verwendung der Cardanischen Formel entstehen, nicht näher ein – sie dürften ihm aber kaum verborgen geblieben sein13.

Die bei deren Auflösung innerhalb der Cardanischen Formel auftretedenden Zwischenwerte u, v und (q / 2)2 + ( p / 3)3 können dabei offensichtlich auch aus den Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Dazu ist in den drei gerade hergeleiteten Formeln lediglich jede Lösung xj (für j = 1, 2, 3) durch x j + 13 a = x j − 13 ( x 1+ x 2 + x 3 ) zu ersetzen, wobei die drei Formeln sogar unverändert bleiben. Die Formeln für die drei Zwischwerte u, v und (q / 2)2 + ( p / 3)3 gelten damit auch unverändert für die allgemeine kubische Gleichung.

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