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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Sei also Z irreduzibel. Wir nehmen an, das Wurzelideal I := I(Z) sei kein Primideal, das heißt, es existieren f1 , f2 = I mit f1 f2 ∈ I. Sei Ji das von fi und I erzeugte Ideal. Es folgt, daß V (Ji ) Wegen f1 f2 ∈ I gilt aber √ V (I). 3) ein Widerspruch. Damit muß I ein Primideal sein. 1 Definition Irreduzible algebraische Teilmengen sind in gewisser Weise einfacher als beliebige algebraische Teilmengen, weil sie sich nicht weiter zerlegen lassen. 1. Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper.

Sei Y eine algebraische Teilmenge des An (k). Dann ist die Inklusionsabbildung ι : Y → An (k) eine regul¨are Abbildung. Die auf den Koordinatenringen induzierte Abbildung ist einfach die Quotientenabbildung ι∗ : k[x1 , . . , xn ] → k[x1 , . . , xn ]/I(Y ). 4. Sei Y eine algebraische Teilmenge des An (k). Sei weiter P = {O} = A0 (k) der Punkt, dessen Koordinatenring gerade k ist. F¨ ur jeden Punkt (a1 , . . , an ) ∈ Y ist dann die Abbildung a : P → Y, O → (a1 , . . 9) eine regul¨ are Abbildung.

Nach Voraussetzung folgt i0 = 1 0 0 und damit Gleichheit beider Mengen. Daraus folgt wiederum Y1 = Yi0 , die Menge Y1 taucht also auf der rechten Seite auf. 1 Urbilder regul¨ arer Funktionen Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper. Nachdem wir definiert haben, was algebraische Teilmengen im An (k) sind, wollen wir einen geeigneten Abbildungsbegriff zwischen solchen Teilmengen einf¨ uhren: Sei etwa Y eine algebraische Teilmenge des Am (k) und Z eine algebraische Teilmenge des An (k), m, n ∈ N0 .

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