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2. 1. ) ein topologischer Raum, A eX eine Teilmenge von X. l3te in A ent- 13) s. BeX die abgeschlossene Htille von A. von A X heiSen oder das Innere von A. Die Elemente von Die Elemente von AO hei- Bertihrungspunkte von A. Sen innere Punkte von A. 1. 2. 2. B. <{O,l} ,{J2f, {o,lH ) und A = tl~. {I} besitzt also keine inneren Punkte. ® A = yf gilt genau dann, wenn A =J2f ist. Mit Ausnahme der leeren Menge besitzt also jede Teilmenge eines topologischen Raumes BerUhrungspunkte. 3. ) ein topo1ogischer Raum.

5. Definition: Es sei ~ eine Kategorie, fE [A,B]c fur (A,B)Elglxl~l. Dann heiBt f Isomorphismus, wenn es ein g E [B, A] ~ so gibt, daB g 0 f = lA und fog = IB gilt. 1st f ein Isomorphismus, so heiBen A und B (in Zeichen: A ~ B). isomo~ph 1. 6. Bemerkungen: CY In 1. 5. ist g durch f ein- deutig bestimmt (ist g' E = IB' so ist g = g olB = g (f g') = (gof) g' = g' = g' ) und wird mit f -1 bezeichnet. (a) 1st f bijektiv, so gilt fur die Umkehrabbildung f -1 ( s. 3. 1'2\) & d ) : f falls f : A ~ ci ~) 1st b E = IB und f -1 0 f = 1A f = lA' so ist f injektiv: Seien X,Y EA und f(x) =x =g f- 1 B.

Tx} =U X\. B ist a1s abzah1bare Vereinigung endBela xtB 1icher Mengen abzah1bar im Widerspruch zur Voraussetzung Uber X. 16. Definitionen: 1) a) Eine Familie (Ai)i e: 1 von Teilmengen einer Menge X heiSt Uberdeckung von X, wenn X =U i£I Ai gilt. b) 1st 1 endlich (abzah1bar), so heiSt die Dberdeckung (Ai) i e: 1 end1ich (abzah1 bar) . Q!! (Ai \ £ I. ) heiat Lindelof-Raum, wenn jede offene Uberdeckung von X eine abzah1bare Tei1Uberdeckung besitzt. 17. ), der das zweite Abzahlbarkeitsaxiom erfUllt, ist ein Linde1ofRaum.

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